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  • Prüfungstermin
    Am 15.01.2016 von 08:30 bis 11:45 Uhr ist Prüfungstermin für "Algebra für InformatikerInnen" (SS15), "Einführung in die Algebra" (SS15) und "Kommutative Algebra" (SS15). Prüfungsanmeldung über Kusss erforderlich!

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Science Park II, 3rd floor

Science Park II, 3rd floor, GPS: 48.335634,14.323747 ...  more of Location (Titel)


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Content

Vorlesung

Lehrveranstaltungsleiter: Erhard Aichinger
LVA-Nummer: 368.129


6,0 ECTS
4,0 Semesterwochenstunden
2 Termine pro Woche

Hauptanmeldezeitraum im KUSSS:
von Montag, 11. Februar 2013 bis Montag, 25. Februar 2013

Termine:
Dienstag, 13:45 Uhr - 15:15 Uhr, S3 058
Donnerstag, 10:15 Uhr - 11:45 Uhr, S3 057


Lehrveranstaltungsinhalte:

In der kommutativen Algebra geht es darum, die Lösungsmengen polynomialer Gleichungssysteme zu beschreiben.

Grundlagen aus der Mengenlehre

* Kettenbedingung und Minimalbedingung, Lemma von Zorn

Ringe und Integritätsbereiche

* Ringe, Integritätsbereiche, Quotientenkörper
* Elementweise Teilbarkeit. Faktorielle Ringe. GGT.

Multiplikative Idealtheorie

* Noethersche Ringe, Hilbertscher Basissatz
* Summen, Produkte, Quotienten von Idealen
* Primär- und Primideale
* Zerlegung von Idealen
* Eindeutigkeit der Zerlegung

Ringerweiterungen

* Ganze Erweiterungen
* Algebraische Erweiterungen
* Noethersche Normalisierung
* Hilberts Nullstellensatz

Gröbnerbasen

* Grundlagen aus der Ordnungstheorie: Satz von Ramsey, Dicksons Lemma, Antiketten monomialer Ideale
* Multivariate Polynomdivision
* Monomiale Ideale
* Definition von Gröbnerbasen
* Konstruktion von Gröbnerbasen. Buchbergers Algorithmus
* Existenz universeller Gröbnerbasen

Algebraische Mannigfaltigkeiten

* Lösungsmengen polynomialer Gleichungssysteme
* Zu Mannigfaltigkeiten gehörende Ideale
* Operationen auf Mannigfaltigkeiten
* Zerlegung von Mannigfaltigkeiten
* Die Dimension einer Varietät
* Geometrische Interpretation der Dimension

Funktionen zwischen algebraischen Mannigfaltigkeiten

* Polynomiale Isomorphismen, Koordinatenringe
* Rationale Isomorphismen, birational äquivalente Varietäten

Algebraische Kurven

* Resultanten
* Schnitt algebraischer Kurven

Literatur:

Cox et al., 1992
Cox, D., Little, J., and O'Shea, D. (1992).
Ideals, varieties, and algorithms.
Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York.
An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra.

Kunz, E., 1980
Kunz, E. (1980)
Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie .
Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig.

Robinson, 2003
Robinson, D. J. S. (2003).
An Introduction to Abstract Algebra.
Walter de Gruyter, Berlin - New York, www.deGruyter.com.

van der Waerden, 1967
van der Waerden, B. L. (1967).
Algebra. Teil II.
Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. Fünfte Auflage. Heidelberger Taschenbücher, Band 23. Springer-Verlag, Berlin.

Winkler, 1996
Winkler, F. (1996).
Polynomial algorithms in computer algebra.
Texts and Monographs in Symbolic Computation. Springer-Verlag, Vienna.


Skriptum:


Klausurtermine:

Freitag, 28. Juni 2013, 08:30 Uhr, S2 046