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Náboj 2017

Hier einige Impressionen vom spannenden Wettbewerb.

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Math Eyes

Math Eyes

MATH EYES - die Welt mit mathematischen Augen sehen ...  mehr zu Math Eyes (Titel)


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Inhalt:

Vorwissenschaftliche Arbeit

Beschreibung: Die Themenvorschläge sind für SchülerInnen gedacht, welche im Zuge der neuen Matura eine Vorwissenschaftliche Arbeit im Bereich der Mathematik schreiben wollen.

Lügen mit Statistik
Analysiere Diagramme und Statistiken aus gängigen Zeitungen oder Online-Medien. Welche Manipulationsmethoden kommen zur Anwendung? Welche Fehler finden sich besonders häufig? (Wahl des Mittelwerts; absolute vs. relative Zahlen; Diagramme strecken, stauchen oder abschneiden; korrekte Proportionalität bei Piktogrammen; geeignete Fragestellung/Stichprobe; usw. )
 
Verschlüsselung
Wie hat Caesar seine Texte verschlüsselt und warum sind derartige Verschlüsselungsmethoden leicht zu knacken? Wie konnten die Briten rund um den genialen Mathematiker Alan Turing im Zweiten Weltkrieg den Code der NS-Verschlüsselungsmaschine Enigma knacken? Wie kann man heute Informationen so verschlüsseln, dass selbst die schnellsten Rechner des Planeten keine Chance mehr haben? Was hat das ganze mit großen Primzahlen zu tun? Wie sieht die Zukunft der Verschlüsselung aus (Stichwort: Quantenkryptographie)?

Verschiedene Zahlensysteme im Vergleich
Warum verwenden wir das 10er-System? Was sind die entscheidenden Vorteile?
Warum hat sich das 20er-System der Maya oder das 60er-System der Babylonier nicht durchgesetzt? Untersuche die Bedeutung des Binärsystems für die Informatik!
 
Primzahlen
Beschäftige dich mit der historischen Entwicklung der Jagd nach großen Primzahlen!
Entdecke faszinierende Eigenschaften der Primzahlen und untersuche ungelöste Probleme der Mathematik, die mit Primzahlen zusammenhängen.
 
Differentialgleichungen
Viele Phänomene in Natur und Technik können (nur) mit Differentialgleichungen, also Gleichungen in denen auch Ableitungen von Funktionen auftreten, gelöst werden. Verschaffe dir einen ersten Einblick in die Thematik, beschäftige dich mit linearen Differentialgleichungen erster Ordnung oder mit besonderen Typen von Differentialgleichungen. Untersuche dabei Bewegungen, Schwingungen, Strömungsverhalten oder Wachstumsprozesse aller Art.

Wie zufällig sind Zufallszahlen?
Wie werden Zufallszahlen heutzutage erzeugt? Vergleiche verschiedene Zufallszahlengeneratoren und beschäftige dich u.a. mit der software- und hardwaretechnischen Realisierung! Wie kann man testen, ob eine Zahlenfolge zufällig ist oder nicht?
 
Mathematische Grundlagen des GPS
Wie viel Mathematik steckt hinter dem Global Positioning System (GPS)? Beschäftige dich in diesem Zusammenhang mit dem Schneiden von Kreisen und Kugeln und dem Lösen von Gleichungssystemen? Welche technischen Voraussetzungen sind notwendig?

Paradoxes aus der Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Schulklasse mindestens zwei Leute am selben Tag Geburtstag haben – wenn du glaubst, dass das sehr unwahrscheinlich ist, irrst du dich! Untersuche dieses oder eines der vielen anderen Paradoxa aus der Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung! Google zum Beispiel mal nach dem Gefangenenparadoxon, dem Ziegenproblem oder dem Umtauschparadoxon!
 
Kann man mit Glücksspielen reich werden?
Untersuche gängige Glücksspiele wie das zurzeit sehr beliebte Texas Holdem Poker!
Warum haben viele der weltbesten Pokerspieler etwas mit Mathematik am Hut?
Wie sollte man ein System anlegen, damit es absolut (gewinn)sicher ist? Mit welchen Tricks kann man sich in einer Spielsituation auch im Kopf die „Pot Odds“ berechnen?
 
Spieltheorie
Optimierung einmal ganz anders! Analysiere gängige Wettbewerbssituationen aus Wirtschaft oder Politik und lerne den Begriff des Nash-Gleichgewichts kennen! (Filmtipp: A beautiful mind) Modelliere deine eigenen Spielsituationen!
 
Kopfrechentricks für Fortgeschrittene
Entdecke vielfältige Kopfrechentricks und begebe dich auf die Spur der Kopfrechenweltmeister! Erkläre die mathematischen Hintergründe bekannter Kopfrechentricks: Strichmultiplikation, Ägyptische Multiplikation, usw.
 
Mathematische Zahlen- und Kartentricks
Im Internet oder in Büchern zur Unterhaltungsmathematik findet man jede Menge Zahlen- oder auch Kartentricks. Lerne die Tricks kennen und erkläre die mathematischen Hintergründe! Entwickle eigene Tricks!
 
Wie zu Keplers Zeiten – Logarithmen als Rechenhilfen
Logarithmen sind im Schulunterricht mittlerweile vom Aussterben bedroht! Wenn du historisch und mathematisch interessiert bist, kannst du entdecken, wie man Logarithmen in früheren Zeiten verwendet hat, um sich Multiplikationen oder Divisionen zu vereinfachen. Setze dich außerdem mit Logarithmustafeln auseinander!
 
Das Problem mit der Irrationalität
Entdecke, wann in der Geschichte zum ersten Mal irrationale Zahlen aufgetaucht sind und wie man historisch bzw. mathematisch damit umgegangen ist!
 
Vier-Farben-Satz
Warum reichen in der euklidischen Ebene immer vier Farben aus, um eine Landkarte so zu färben, dass keine zwei aneinander grenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen? Begebe dich auf die Spur eines der spannendsten und schwierigsten mathematischen Probleme! Gibt es auch Oberflächen auf denen man nicht mit vier Farben auskommt? Warum sind Computerbeweise in der Mathematik umstritten?

Die Mathematik des Zauberwürfels
Du löst gerne Zauberwürfel? Beschäftige dich mit kombinatorischen Problemen rund um den Zauberwürfel! Wie viele mögliche Stellungen gibt es beim Zauberwürfel? Lerne dabei unter anderem den Begriff der mathematischen „Gruppe“ kennen! Analysiere zudem gängige Lösungsschemata und entdecke die Tricks der „Speedcuber“
 
Problem des Handlungsreisenden
Angenommen du willst alle Bezirkshauptstädte Oberösterreichs besuchen. Wie musst du die Reihenfolge der Orte wählen, damit deine gesamte Reisestrecke möglichst kurz ist? Modelliere dieses und ähnliche Probleme mithilfe eines sogenannten Graphen (Stichwort: Graphentheorie) und versuche Lösungen zu finden!
 
Fraktale Geometrie
Du bist ein mathematischer Ästhet? Dann sind Fraktale genau das richtige für dich!
Entdecke was es mit Kuriositäten wie der Mandelbrot-Menge oder der Julia-Menge auf sich hat! Stelle außerdem bei Spierpinski-Dreieck oder Menger-Schwamm konkrete Berechnungen an (Folgen und Reihen)!

Parkettierung
Sind die Fliesen im Badezimmer zu langweilig? Eine mögliche Lösung liefern Parkettierungen. Was versteht man unter Parkettierung, insbesondere unter einer platonischen Parkettierung? Zeige, warum es nur drei platonische Parkettierungen gibt. Wo kommen Parkettierungen in der Natur vor?

Näherungsverfahren in der Mathematik
Du möchtest etwa die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl (z.B. 5) “berechnen” (ohne technische Hilfsmittel)? Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung x² = 5 gibt, so gibt es doch eine beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Ein bekanntes Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig anzunähern, ist das Heronverfahren. Entdecke dieses und auch andere Näherungsverfahren und vergleiche sie miteinander.

Aktienkurse und Aktienrenditen simulieren und analysieren
Du interessierst dich für die Finanzwelt? Entdecke, was genau Aktien eigentlich sind, wie der Preis von Aktien zustande kommt und wie man den Verlauf von Aktienkursen mithilfe von Computersimulationen (z.B.: mithilfe von GeoGebra) analysieren kann. Zukünftige Aktienkurse sind zwar nicht vorhersehbar, Aussagen über die Wahrscheinlichkeit mancher Ereignisse lassen sich dennoch treffen.
Eine der Annahmen der Finanzmathematik ist: „Aktienrenditen sind annähernd normalverteilt“. Was genau sind Aktienrenditen? Was heißt „annähernd normalverteilt“? Analysiere mithilfe von alten Daten und GeoGebra, ob und wie man überprüfen kann, wie sich Aktienrenditen in unterschiedlichen Zeiträumen in Hinblick auf die Normalverteilung verhalten und entdecke dabei das “Fat tails” Phänomen.

Optimieren wie der Nobelpreisträger Harry Markowitz
Du hast gerade eine große Summe gewonnen und hast die Möglichkeit in verschiedene Finanzprodukte, z.B. Aktien, zu investieren. Für welches Produkt entscheidest du Dich? Ist es besser in ein einzige Aktie zu investieren oder in eine Kombination von mehreren? Die Portfolio-Selektionstheorie des Nobelpreisträgers Harry Markowitz bietet einen bekannten Ansatz um diesen Fragen zu beantworten.

Wie sicher sind Anleihen oder Optionen?
Anleihen sind ein beliebtes Finanzprodukt, da sie als relativ „sicher“ gelten. Sie sind jedoch nicht frei von Risiken. Welche Risiken sind das? Wie und von wem werden sie kategorisiert? Wie funktionieren Anleihen wirklich? Lerne die Rendite von Anleihen zu berechnen und vergleiche damit verschiedene aktuelle Anleihen die du im Internet findest.
Optionen sind besonders flexible, derivative Finanzprodukte. Lerne was genau sie sind und wie sie in ihrer Basisversion funktionieren. Zeichne, mithilfe der neuen Technologien, die verschiedenen Gewinn-/Verlustprofile. Kombiniere dann unterschiedliche Typen von Optionen um verschiedene Investmentstrategien zu erzeugen und zeichne davon die entsprechenden Gewinn-/Verlustprofile. Recherchiere in Internet nach Optionspreisen und gib Beispiele mit aktuellen Daten an.